funcao trigonometrica

FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
• Introdução:
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos)e metron(medida); significando assim "medida dos triângulos".
Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios , que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura.
Aliás, foram os astronomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo.
No século VIII com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeira tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback.
Porém o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o "tratado dos triângulos", escrito pelo matemático alemão Johann Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discipulo de Purback.
Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.

FUNÇÃO SENO
• Definição
Chamamos de função seno a função f: R R que a cada número real x, associa o seno desse número: f: R R, f(x) = sen x
O domínio dessa função é R e a imagem é Im  -1,1 ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1  sen x  1, ou seja:
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.
Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) =  -1,1 .
• Sinal da Função:
Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
• f(x) = sen x é positiva no 1 e 2 quadrantes (ordenada positiva)
• f(x) = sen x é negativa no 3 e 4 quadrantes (ordenada negativa)
• Gráfico da função seno (senóide).



FUNÇÃO COSSENO
• Definição
Chamamos de função cosseno a função f: R R que a cada número real x , associa o cosseno desse número: f: R R, f(x) = cos x.
O domínio dessa função é R e a imagem é Im  -1,1 ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1  cos x  1, ou seja:
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) =  -1,1 .
• Sinal da Função:
Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
• f(x) = cos x é positiva no 1 e 2 quadrantes (abscissa positiva)
• f(x) = cos x é negativa no 3 e 4 quadrantes (abscissa negativa)
• Gráfico da função cosseno (cossenóide).


FUNÇÃO TANGENTE
• Definição
Chamamos de função tangente a função f: E R que a cada número x E, com E =  x R/ x  ½  + k , k Z associa a tangente desse número: f: E R, f(x) = tg x.
O domínio dessa função é E e a imagem é R; visto que no 1 e 3 quadrantes, a função tg x varia de 0(zero) até  (infinito) e 2 e 4 quadrantes varia de - (menos infinito) até 0(zero)
Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = E =  x R/ x  ½  + k , k Z .
Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R.
• Sinal da Função:
Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
• f(x) = tg x é positiva no 1 e 3 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva)
• f(x) = tg x é negativa no 2 e 4 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)
• Gráfico da função tangente (tangentóide).


OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÃO SECANTE
• Definição
Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo x R diferente de ½ + k , onde k Z.
• Sinal da função
Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno.

FUNÇÃO COSSECANTE
• Definição
Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo x R diferente de k , onde k Z.
• Sinal da função
Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.

FUNÇÃO COTANGENTE
• Definição
Denomina-se função cotangente a função f(x) = cos x/sen x, definida para todo x R diferente de k , onde k Z.
• Sinal da função
Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da função cotangente são os mesmos da função tangente.

CURIOSIDADES E APLICAÇÕES
(1) Distância da Terra à Lua
Utilizando as relações trigonométricas, os astrônomos calculam as dimensões de corpos celestes e a distância entre eles. Para exemplificar, mostraremos uma maneira de calcular a distância entre a Terra e a Lua e a medida do raio desse satélite.

Para exemplificar, mostraremos uma maneira de calcular a distância entre a Terra e a Lua e a medida do raio desse satélite.
Suponhamos que em um observatório astrônomo A a lua é vista no zênite, isto é, na vertical; no observatório B, a lua é vista na linha do horizonte, conforme a figura ao lado.
Conhecendo-se a medida R do raio da Terra e a medida  do ângulo central AÔB, que é igual a medida do arco AB, pode-se obter a distância AL da seguinte maneira:


cos  = R  AL = R - R
AL + R cos 
Para o cálculo da medida r do raio da Lua, inicialmente mede-se o ângulo formado pelas duas retas tangentes AT e AT’ a um círculo máximo do satélite, conforme a figura a seguir:

Conhecendo-se a distância d entre os pontos A e L, obtém-se:
sen ( /2 ) = r  r = d.sen ( /2 )
d + r 1 - sen ( /2 )
(2) O comprimento de uma curva:
No projeto de uma estrada, o engenheiro prevê que uma curva terá o formato de um arco de circunferência de 500m. Desde o ponto A, início da curva até o ponto B, final da curva, a estrada muda sua direção em 30º. Observe como o profissional calcula o comprimento que terá a curva:

Cálculo da medida alfa do ângulo central:
150o+90o+90o+  = 360o   = 30o
Regra de três usada no cálculo do comprimento x da curva:
360o ------- 2. .500 m
30o ------- C
assim x  261,7 m
(3) Distância da Terra ao Sol:
O matemático astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. – 230 a.C.) foi, pelo que se sabe, o primeiro homem a lançar a audaciosa hipótese heliocêntrica (Sol no centro do Universo), antecipando-se em 1700 anos ao astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473 – 1543), autor do primeiro tratado de astronomia heliocêntrica. Aristarco foi também um dos pioneiros no cálculo de distâncias entre corpos celestes. Um dos problemas que a dedicou especial atenção foi a determinação da distância entre a Terra e o Sol. Ele observou que, quando a Lua é avistada da Terra em quarto crescente, os raios solares são perpendiculares à reta que passa pelos centros da Terra e da Lua, conforme mostra a figura:

Conhecendo-se a medida alfa do ângulo LTS e a distância d da Terra à Lua, Aristarco calculou a distância TS da Terra ao Sol da seguinte maneira:
cos  = d  TS = d
TS cos 
(4) Calculando o comprimento de um túnel a ser construído:
As empresas construtoras de estradas, para estimarem o custo das obras, deparam-se freqüentemente com o cálculo do comprimento l de um túnel que será construído ligando dois pontos A e B da base de uma montanha. Um recurso muito usado para esse cálculo é a Lei dos Cossenos: considera-se no plano da base da montanha um ponto C e calculam-se as seguintes medidas: CA=x, CB=y e m(ACB)=alfa, conforme a figura. Por meio da Lei dos Cossenos, obtém-se o comprimento l.

(5) As Fases da Lua:
As fases da Lua resultam de sua posição em relação aos raios solares. Sendo o Sol (S), a Lua (L) e a Terra (T) os vétices de um triângulo cujas medidas dos lados e dos ângulos estão indicados na figura abaixo, o seno e o cosseno nos permitem calcular a medida do ângulo i, chamado ângulo de fase, através das equações: (a) d. sen(i) = d1.sen D e (b) d.cos(i) = d2 -d1.cos D

(6) A Reflexão Total da Luz:
As inequações trigonométricas estão presentes no estudo da refração, reflexão e absorção da luz. Por exemplo, quando um raio de luz monocromática se propaga no meio B de índice de refração 2 e atinge a superfície que separa esse meio do A, para que haja reflexão total da luz, a medida teta do ângulo de incidência deve satisfazer a inequação: sen ð > 1/2
(7) A trigonometria e a astronomia:
Até o final do séc XVI, o desenvolvimento da astronomia esbarrava em cálculos longos e tediosos, tais como o produto sen 16º . cos 4º, em que sen 16º = 0,275637355 e cos 4º = 0,99756405. Nessa época, os astrônomos passaram a usar as fórmulas de prostaférese que transformam a multiplicação em adição ou subtração. Afinal, adicionar ou subtrair é, geralmente, mais rápido do que multiplicar. Uma dessas fórmulas é:
sen(x+y) + sen(x-y) = 2. sen x . cos y
(8) O processo respiratório:
Em um modelo para descrever o processo respiratório, considera-se que o fluxo de ar F na traquéia, em ambos os sentidos (inspiração e expiração) , e a pressão interpleural P (pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafrágma e por músculos intercostais) são funções periódicas do tempo t, havendo entre elas uma diferença de fase. Essas funções são descritas, para t>0, em que k, A,Be C são constantes reais positivas e ômega é a freqüência respiratória, por:
• F(t) = A .sen (ß.t)
• P(t)= C -BF.(t +k/ß.)

Bibliografia:
1. Paiva, Manoel, Matemática, Volume único, Ed. Moderna, 2003
2. Barreto Filho, Benigno e Silva, Cláudio Xavier da, Matemática aula por aula, Volume único, FTD, 200.

Funções Trigonométricas
Vamos estudar as funções trigonométricas seguintes:
y = sen x
y = cos x
y = tg x
e também os inversos destas funções, ou seja:
y = 1/sen x = cosec x
y =1/ cos x = sec x
y = 1/tg x = cotg x
O ângulo x é a variável independente e o valor da função é a variável dependente. É importante recordar que a medida dos ângulos pode expressar-se em graus ou em radianos. Assim, vemos que:
0° 0 rad
360° 2 rad
Observemos agora as principais características das funções já mencionadas:
1. Função y = sen x:
a) A função seno é periódica, já que:
sen (x + 2 ) = sen x
em que o período da função é t = 2 ;
b) O domínio da função é todo o conjunto R, e o contradomínio da função é [-1,1];
c) O valor máximo da função é 1 em x = /2 e o valor mínimo da função é -1 em x = 3 /2;
d) A função é contínua em todo o seu domínio;
e) É uma função crescente no intervalo [0, /2] e [3 /2,2 ], e decrescente no intervalo [ /2,3 /2];
f) A função é ímpar, já que:
sen (-x) = - sen x
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

2. Função y = cos x:
a) A função co-seno é periódica, pois:
cos (x + 2 ) = cos x
e o período da função é T = 2 ;
b) O domínio é todo o conjunto dos números reais R, e o contradomínio da função é [-1,1];
c) O valor máximo da função é 1 em x = 0 ou x = 2 e o valor mínimo da função é -1 em x = ;
d) A função é contínua em todo o seu domínio;
e) É uma função crescente no intervalo [ ,2 ] e decrescente no intervalo [0, ];
f) A função é par, já que:
cos x = cos (-x)
e o gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

3. Função y = tg x:
a) A função tangente é periódica, já que:
tg (x + ) = tg x
em que o período da função é t = ;
b) O domínio da função é R/ { /2 - k , k Z }, e o contradomínio da função é todo o conjunto R;
c) Esta função não tem extremos locais;
d) A função é contínua em todo o seu domínio;
e) É uma função crescente em todos os pontos do domínio;
f) A função é ímpar, pois:
tg (-x) = - tg x
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

4. Função y = cosec x:
a) A função co-secante é periódica, já que:
cosec (x + 2 ) = cosec x
em que o período da função é t = 2 ;
b) O domínio da função é R/ {0 + k , k Z }, e o contradomínio da função é o conjunto R/ [-1,1];
c) Esta função tem um máximo local em 3 /2 e um mínimo local em /2;
d) A função é contínua em todo o seu domínio;
e) É uma função crescente onde a função sen x é decrescente e é decrescente onde a função sen x é crescente;
f) A função é ímpar, pois:
cosec (-x) = - cosec x
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

5. Função y = sec x:
a) A função secante é periódica, já que:
sec (x + 2 ) = sec x
em que o período da função é t = 2 ;
b) O domínio da função é o conjunto R/{ /2 - k , k Z } , e o contradomínio da função é R/ [-1,1];
c) A função tem um máximo local em x = e um mínimo local em x = 0;
d) A função é contínua em todo o seu domínio;
e) É uma função crescente onde a função cos x é decrescente e é decrescente onde a função cos x é crescente;
f) A função é par, pois:
sec x = sec (-x)
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).

6. Função y = cotg x:
a) A função co-tangente é periódica, já que:
cotg (x + ) = cotg x
em que o período da função é t = ;
b) O domínio da função é R/ {k , k Z}, e o contradomínio da função é todo o conjunto R;
c) Esta função não tem quaisquer extremos;
d) A função é contínua em todo o seu domínio;
e) É uma função decrescente em todos os pontos do domínio;
f) A função é ímpar, pois:
cotg (-x) = - cotg x
e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).


Introdução
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos)e metron(medida); significando assim "medida dos triângulos". Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios , que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astronomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. No século VIII com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeira tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. Porém o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o "tratado dos triângulos", escrito pelo matemático alemão Johann Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discipulo de Purback. Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.

Função seno
Definição
Chamamos de função seno a função f: R® R que a cada número real x, associa o seno desse número: f: R® R, f(x) = sen x
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.

Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
• Sinal da Função:
Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
• f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
• f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)

Função cosseno
Definição
Chamamos de função cosseno a função f: R® R que a cada número real x , associa o cosseno desse número: f: R® R, f(x) = cos x.
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .
• Sinal da Função:
Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
• f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)
• f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)


Função tangente
Definição
Chamamos de função tangente a função f: E® R que a cada número xÎ E, com E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý associa a tangente desse número: f: E® R, f(x) = tg x.
O domínio dessa função é E e a imagem é R; visto que no 1° e 3° quadrantes, a função tg x varia de 0(zero) até ¥ (infinito) e 2° e 4° quadrantes varia de -¥ (menos infinito) até 0(zero)
Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý .
Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R.
• Sinal da Função:
Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
• f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva)
• f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)

Função secante

Definição
Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p + kp , onde kÎ Z.
• Sinal da função
Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno.

Função cossecante
Definição
Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.
• Sinal da função
Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.

Função cotangente

Definição
Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.
• Sinal da função
Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.

Anexos

A função seno


Observe que esse gráfico é razoável.
Pois:
• Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.
• Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.
• Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.
• Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]

A função cosseno



Observe que esse gráfico é razoável.
Pois:
• Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.
• Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.
• Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.
• Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.


A função tangente
Observe que esse gráfico é razoável. De fato:
Em primeiro lugar


ou seja, quando , 1º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.
Em segundo lugar,

ou seja, quando , 2º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.
Em terceiro lugar,

ou seja, quando, 3º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.
Finalmente,

ou seja, quando , 4º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.



Função secante
Temos:
Definição: .
Logo, o domínio da função secante é .

Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada , sec x é a medida algébrica do segmento OS ou do segmento OT.



Da figura, observamos também que, para todo , , onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função sec é periódica, de período 2p.
A fim de esboçar o gráfico de y=sec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:
• e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x aumenta, y aumenta;
• e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x aumenta, y aumenta;
• e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;
• e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui.
Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.
s


A função y=sec x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e periódica, de período 2p

função cossecante
Temos:
Definição: .
Logo, o domínio da função cossecante é
Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada , cossec x é a medida algébrica do segmento OU ou do segmento OC.


Da figura, observamos também que, qualquer que seja , , onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função cos sec é periódica, de período 2p.
A fim de esboçar o gráfico de y=cossec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:
• e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;
• e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;

Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.
A função y=cotg x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e periódica.

Conclusão
Ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera.
A trigonometria começa como uma matemática eminentemente prática para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serve à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.
Bibliografia
Paiva, Manoel, Matemática, Volume único, Ed. Moderna, 2003
Barreto Filho, Benigno e Silva, Cláudio Xavier da, Matemática aula por aula, Volume único, FTD, 200.
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