funcoes matematicas

Função linear

Uma função linear
Função linear é a função matemática que possui as seguintes duas propriedades:
• Aditividade:
f(x + x') = f(x) + f(x');
• Homogeneidade:
f(ax) = af(x).
As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta.
Definição
Chama-se função linear a função definida por: (Y=ax+b a/0) onde A e B são números reais quaisquer.
Ver artigo principal: Aplicação linear
A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.
Sejam espaços vetoriais. Uma função é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:
•
•
Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:
•
•
Função Linear - Equação de Rectas

A função y = mx + b
Como foi visto no Exemplo 1 da secção Conceito de Função, a função h(t) que fornece o nível da água na caixa de água para qualquer instante de tempo t , pode ser representada graficamente por uma recta.
De um modo geral, o gráfico cartesiano de uma função da forma f(x) = mx + b é representado por uma recta não vertical de equação:
y = mx + b
Neste caso, diz-se que a função f(x) = mx + b é uma função linear afim.
Observe, abaixo, gráficos da função y = mx + b para b=0 e m = 1 , 2 -2 , -0.5 , respectivamente.

• O que se pode afirmar a respeito da recta y = mx + b quando b=0 ?
• O que se pode afirmar a respeito da recta y = mx + b quando m é positivo? E quando m é negativo? E quando m é zero?
Observe a animação abaixo, para descobrir o que acontece com a família de rectas y = mx quando a constante, tomada como parâmetro, varia?

• Qual o significado geométrico da constante m ?
Abaixo estão traçados gráficos de funções do tipo y=mx+b para m =1 e b = 1 , -1 e 0 .

• Qual o significado geométrico da constante b?
Observe a animação abaixo, para descobrir o que acontece com a família de rectas y = mx + b, quando a constante b, tomada como parâmetro, varia?

• Qual a característica geométrica da família de rectas obtida considerando-se vários valores para b na função f(x) = mx + b ?
A constante b chama-se coeficiente linear ou intersecção y da recta y = mx + b e a constante m é chamada declive ou coeficiente angular dessa recta.
• O que representa o ponto onde a recta y = mx + b corta o eixo x?
• Para que valores de x, y é positivo? Para que valores, é negativo?

Interpretação geométrica do Coeficiente angular de uma recta
Consideremos dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) pertencentes à mesma recta y = mx + b . Temos então que y0 = mx0 + b e y1 = mx1 + b . Dessas duas equações é possível encontrar o valor de m em função de x0, x1, y0, y1. De facto, daí segue que:
m =
Esta última expressão pode ser interpretada geometricamente, como a tangente do ângulo que a recta y = mx + b faz com o eixo x . Veja o gráfico abaixo.

Do gráfico acima também concluímos que:
m = tg(ω) =


Função logarítmica

O conceito de função logarítmica está implícito na definição de Napier e em toda a sua obra sobre logaritmos.
Chama-se função logarítmica de base a à correspondência
g: lR+ lR
x loga x , com a > 0, a ≠ 1.

Principais Características

Função logarítmica
0 < a < 1 Função logarítmica a > 1
g: lR+ lR
x loga x


● Domínio = lR+
● Contradomínio = lR
● g é injectiva
● g(x) = 0 <=> x = 1
● g é continua e diferenciável em lR+
● A função é estritamente decrescente.
● limx→0+ loga x = + ∞
● limx→+∞ loga x = - ∞
● x = 0 é assimptota vertical
g: lR+ lR
x loga x


● Domínio = lR+
● Contradomínio = lR
● g é injectiva
● g(x) = 0 <=> x = 1
● g é continua e diferenciável em lR+
● A função é estritamente crescente.
● limx→0+ loga x = - ∞
● limx→+∞ loga x = + ∞
● x = 0 é assimptota vertical


Deste tipo de funções as mais importantes são as de base e.


Exemplos de aplicações da Função Logarítmica

Exemplo 1: Cultura de Bacilos
O número de bacilos existentes numa determinada cultura, no instante t, é dado por
N = N0 . 2 (t/k)
em que N0 e k são constantes. As variáveis t e N estão expressas em horas e milhões de unidades, respectivamente.
a) Interpreta o significado das constantes N0 e k.
b) Qual a função que exprime, o número de horas que esta função leva a passar de N0 para N, em função de N?
Resolução:
a) No instante t = 0 vem N = N0.20 logo N = N0.
Portanto, N0 é o número de bacilos existentes no início da contagem do tempo.

Fazendo t = k vem N = N0.2 . Isto significa que k é o número de horas que decorrem até duplicar o número de bacilos.

b) N / N0 = 2(t/k) <=> t / k = log2 (N / N0) <=> t = k log2 (N / N0)
Vemos que a expressão de t, em função de N, envolve um logaritmo da variável independente, logo é uma função logarítmica.


Exemplo 2: Sismos
Segundo Richter (Sismologia Elementar, 1958) a magnitude M dum tremor de terra, que ocorra a 100 km de certo sismógrafo, é dada por
M = log10 A +3
onde A é a amplitude máxima em mm, do registo feito pelo aparelho.
a) Qual é o significado da constante 3?
b) Certo tremor de terra de magnitude M1 produz um registo de amplitude A1. Exprime, em função de M1, a magnitude M doutro sismo cujo registo tem de amplitude 100A1, nas mesmas condições.

Resolução:
a) Para A = 1, vem M = 3. Isto significa que o tremor de terra tem magnitude 3, se provoca um registo de amplitude máxima 1 mm, nas condições indicadas.

b) Para uma amplitude 100A1 vem:
M = log10 (100A1) + 3 = log10 100 + log10 A1 +3
= 2 + (log10 A1 +3).
Portanto M = 2 + M1.
Assim temos uma função logarítmica.


Derivada da função logarítmica

● Derivada de f(x) = log x
Calculando a derivada de f(x) = log x, pela definição de derivada de uma função,
f(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h ,
num ponto a Є lR+ , temos que f`(a) = 1/a. Como a é um ponto qualquer do domínio, temos que:
(log(x))` = 1/x ⍱ x Є lR+ (base e)
Recorrendo à regra da derivação da função composta e sendo u = f(x), vem que:
(log u)` = u`/ x (base e)
em todo o ponto onde u seja positiva e derivável.

● Derivada de f(x) = loga x
Tomando agora para base, qualquer outro número positivo (diferente de 1 e de e) temos:
(loga x)`= 1 / xln a
e, sendo u função de x:
(loga u)`= u`/ uln a.



Função Exponencial

Chama-se função exponencial de base a à correspondência
f: lR lR+
x ax , com a > 0

Nota que, a expressão analítica da função é uma potência, com a particularidade de ter base fixa e expoente variável.
Se a = 1, a função é constante e tem pouco interesse.
Vejamos agora, quando 0 < a < 1 e a > 1:

Função exponencial
0 < a < 1 Função exponencial a > 1
f: lR lR
x ax


● Domínio = lR
● Contradomínio = lR+
● f é injectiva
● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR
● f é continua e diferenciável em lR
● A função é estritamente decrescente.
● limx→ -∞ ax = + ∞
● limx→ +∞ ax = 0
● y = 0 é assimptota horizontal
f: lR lR
x ax


● Domínio = lR
● Contradomínio = lR+
● f é injectiva
● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR
● f é continua e diferenciável em lR
● A função é estritamente crescente.
● limx→ +∞ ax = + ∞
● limx→ -∞ ax = 0
● y = 0 é assimptota horizontal



Exemplos de aplicações da Função Exponencial

Exemplo 1: Bactéria
Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de t dias?


Resolução:

milhões de bactérias
Ao fim de 1 dia 1 + 0,5 = 1,5
Ao fim de 2 dias 1,5 + 0,5x1,5 = 1,5(1 + 0,5) = 1,52
Ao fim de 3 dias 1,5 + 0,5x1,52 = 1,52 (1 + 0,5) = 1,53
... ...
Ao fim de t dias ................................................................ 1,5t

Vemos que o número de milhões de bactérias, ao fim de t dias, é dado por uma potência de expoente variável (exponencial).
Sabemos que esta potência tem significado para qualquer valor real de t; no início da contagem é t = 0 e antes desse instante é t < 0.
Sabemos, também, que os valores de 1,5t são sempre positivos. Portanto, temos a correspondência:
f: lR lR
t 1,5t
que se chama função exponencial de base 1,5.


Exemplo 2: Juros compostos
A função exponencial intervém em numerosas aplicações matemáticas, na Ciência e na Indústria, e é indispensável no estudo de muitos problemas de Economia e Finanças, nomeadamente no cálculo dos "juros compostos".
Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e passando, portanto, a ganhar juro. O investigador, no fim do segundo ano, receberá, portanto, "juro do juro" além do juro do capital.
Por exemplo:
Uma pessoa coloca 3000 contos a prazo, à taxa de 20% ao ano e não levanta dinheiro algum durante 10 anos.
Quanto tem a receber (capital acumulado) ao fim desse período?
E ao fim de x anos?

Resolução:
milhares de contos
Ao fim de 1 ano 3 + 3x0,2 = 3 (1 + 0,2) = 3x1,2
Ao fim de 2 anos 3x1,2 + 3x1,2x0,2 = 3x1,2 (1 + 0,2) = 3x1,22
Ao fim de 3 anos 3x1,22 + 3x1,22x0,2 = 3x1,23
............................................................................................................
Ao fim de 10 anos 3x1,210 ≈ 18,575
Ao fim de x anos 3x1,2x

Obtemos de novo uma função exponencial.


Derivada da função exponencial

● Derivada de f(x) = ex
Aplicando a definição de derivada de uma função,
f`(x) = limh→0 (f(x + h) - f(x))) / h , temos que:
f`(x) = ex
Se f(x) = eu onde u é função de x, temos que f`(x) = u`. eu.
Nota que f(x) = ex é a única função não nula igual à sua própria derivada.

● Derivada de f(x) = ax
Seja qual for o número a, positivo, existe logea e tem-se
a = e logea ou a = e ln a (logea = ln a)
Então ax = ( eln a)x = e x ln a.
Logo (ax)` = (exln a)` = ex ln a ( x ln a)` = ax. ln a.
Portanto,
(ax)`= ax. ln a ,
sendo u uma função de x, temos:
(au)`= au. ln a . u`.


A função exponencial mais simples é a função . Cada ponto do gráfico é da forma pois a ordenada é sempre o resultado de ex, ou seja, a exponencial de base e do número x.

O domínio da função é e a imagem é o conjunto .
O eixo horizontal é uma assíntota do gráfico da função. O que queremos aqui é descobrir como é o gráfico de uma função exponencial geral, quando comparado ao gráfico de , a partir das transformações sofridas por esta função.